股票买卖

121.买卖股票的最佳时机

一、穷举框架

具体到每一天,看看总共有几种可能的「状态」,再找出每个「状态」对应的「选择」。我们要穷举所有「状态」,穷举的目的是根据对应的「选择」更新状态

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for 状态1 in 状态1的所有取值:
for 状态2 in 状态2的所有取值:
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)

「选择」:买入、卖出、无操作
「状态」:天数、允许交易的最大次数、当前的持有状态(1持有,0未持有)

dp[3][2][1] :今天是第三天,我现在手上持有着股票,至今最多进行 2 次交易

dp[n - 1][K][0]

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dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数,大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态,全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
for 1 <= k <= K:
for s in {0, 1}:
dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

二、状态转移框架

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dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
max(选择 rest, 选择 sell)

今天我没有持有股票,有两种可能:
要么是我昨天就没有持有,然后今天选择 rest,所以我今天还是没有持有;
要么是我昨天持有股票,但是今天我 sell 了,所以我今天没有持有股票了。

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dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
max(选择 rest, 选择 buy)

今天我持有着股票,有两种可能:
要么我昨天就持有着股票,然后今天选择 rest,所以我今天还持有着股票;
要么我昨天本没有持有,但今天我选择 buy,所以今天我就持有股票了。

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dp[-1][k][0] = 0

因为 i 是从 0 开始的,所以 i = -1 意味着还没有开始,这时候的利润当然是 0 。

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dp[-1][k][1] = -infinity

还没开始的时候,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。

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dp[i][0][0] = 0

因为 k 是从 1 开始的,所以 k = 0 意味着根本不允许交易,这时候利润当然是 0 。

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dp[i][0][1] = -infinity

不允许交易的情况下,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。

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base case:
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

状态转移方程:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

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public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length == 0) {
return 0;
}
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i - 1 == -1) {
dp[i][0] = 0;
// dp[i][0]
// = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i])
// = max(0, -infinity + prices[i]) = 0
dp[i][1] = -prices[i];
// dp[i][1]
// = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
// = max(-infinity, 0 - prices[i])
// = -prices[i]
continue;
}
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
}

tips:

如果 buy,就要从利润中减去 prices[i],如果 sell,就要给利润增加 prices[i]。今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。而且注意 k 的限制,我们在选择 buy 的时候,把 k 减小了 1,当然你也可以在 sell 的时候减 1,一样的。

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