股票买卖 | 李智‘Blog

一、穷举框架

具体到每一天，看看总共有几种可能的「状态」，再找出每个「状态」对应的「选择」。我们要穷举所有「状态」，穷举的目的是根据对应的「选择」更新状态

for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1，选择2...)

「选择」：买入、卖出、无操作
「状态」：天数、允许交易的最大次数、当前的持有状态(1持有，0未持有)

dp[3][2][1] ：今天是第三天，我现在手上持有着股票，至今最多进行 2 次交易

求dp[n - 1][K][0]

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

二、状态转移框架

1 2	dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) max(选择 rest, 选择 sell)

今天我没有持有股票，有两种可能：
要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。

1 2	dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) max(选择 rest, 选择 buy)

今天我持有着股票，有两种可能：
要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。

1	dp[-1][k][0] = 0

因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0 。

1	dp[-1][k][1] = -infinity

还没开始的时候，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。

1	dp[i][0][0] = 0

因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0 。

1	dp[i][0][1] = -infinity

不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。

base case：
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

⏬⏬⏬

public int maxProfit(int[] prices) {
       if (prices == null || prices.length == 0) {
           return 0;
       }
       int n = prices.length;
       int[][] dp = new int[n][2];
       for (int i = 0; i < n; i++) {
           if (i - 1 == -1) {
               dp[i][0] = 0;
               //   dp[i][0]
               // = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i])
               // = max(0, -infinity + prices[i]) = 0
               dp[i][1] = -prices[i];
               //   dp[i][1]
               // = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
               // = max(-infinity, 0 - prices[i])
               // = -prices[i]
               continue;
           }
           dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
           dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
       }
       return dp[n - 1][0];
   }

tips:

如果 buy，就要从利润中减去 prices[i]，如果 sell，就要给利润增加 prices[i]。今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。而且注意 k 的限制，我们在选择 buy 的时候，把 k 减小了 1，当然你也可以在 sell 的时候减 1，一样的。