贪心算法 | 李智‘Blog

435. 无重叠区间

什么是贪心算法呢？贪心算法可以认为是动态规划算法的一个特例，相比动态规划，使用贪心算法需要满足更多的条件（贪心选择性质），但是效率比动态规划要高。

比如说一个算法问题使用暴力解法需要指数级时间，如果能使用动态规划消除重叠子问题，就可以降到多项式级别的时间，如果满足贪心选择性质，那么可以进一步降低时间复杂度，达到线性级别的。

什么是贪心选择性质呢，简单说就是：每一步都做出一个局部最优的选择，最终的结果就是全局最优。注意哦，这是一种特殊性质，其实只有一部分问题拥有这个性质。

比如你面前放着 100 张人民币，你只能拿十张，怎么才能拿最多的面额？显然每次选择剩下钞票中面值最大的一张，最后你的选择一定是最优的。

然而，大部分问题明显不具有贪心选择性质。比如打斗地主，对手出对三，按照贪心策略，你应该出尽可能小的牌刚好压制住对方，但现实情况甚至可能会出王炸，这种情况就不能用贪心算法，而得使用动态规划解决。

一、问题概述

经典的贪心算法问题 Interval Scheduling（区间调度问题）。

给你很多形如 [start, end] 的闭区间，算出这些区间中最多有几个互不相交的区间。

1	int intervalSchedule(int[][] intvs) {}

举个例子，intvs = [[1,3], [2,4], [3,6]]，这些区间最多有 2 个区间互不相交，即 [[1,3], [3,6]]，你的算法应该返回 2。注意边界相同并不算相交。

这个问题在生活中的应用广泛，比如你今天有好几个活动，每个活动都可以用区间 [start, end] 表示开始和结束的时间，请问你今天最多能参加几个活动呢？显然你一个人不能同时参加两个活动，所以说这个问题就是求这些时间区间的最大不相交子集。

二、贪心解法

这个问题有许多看起来不错的贪心思路，却都不能得到正确答案。比如说：

也许可以每次选择可选区间中开始最早的那个？但是可能存在某些区间开始很早，但是很长，使得错误地错过了一些短的区间。或者每次选择可选区间中最短的那个？或者选择出现冲突最少的那个区间？这些方案都能很容易举出反例，不是正确的方案。

正确的思路其实很简单，可以分为以下三步：

从区间集合 intvs 中选择一个区间 x，这个 x 是在当前所有区间中结束最早的（end 最小）。
把所有与 x 区间相交的区间从区间集合 intvs 中删除。
重复步骤 1 和 2，直到 intvs 为空为止。之前选出的那些 x 就是最大不相交子集。

把这个思路实现成算法的话，可以按每个区间的 end 数值升序排序，因为这样处理之后实现步骤 1 和步骤 2 都方便很多。

对于步骤 1，由于预先按照 end 排了序，所以选择 x 是很容易的。关键在于，如何去除与 x 相交的区间，选择下一轮循环的 x 呢？

由于事先排了序，不难发现所有与 x 相交的区间必然会与 x 的 end 相交；如果一个区间不想与 x 的 end 相交，它的 start 必须要大于（或等于）x 的 end：

public int intervalSchedule(int[][] intvs) {
    if (intvs.length == 0) return 0;
    // 按 end 升序排序
    Arrays.sort(intvs, new Comparator<int[]>() {
        public int compare(int[] a, int[] b) {
            return a[1] - b[1];
        }
    });
    // 至少有一个区间不相交
    int count = 1;
    // 排序后，第一个区间就是 x
    int x_end = intvs[0][1];
    for (int[] interval : intvs) {
        int start = interval[0];
        if (start >= x_end) {
            // 找到下一个选择的区间了
            count++;
            x_end = interval[1];
        }
    }
    return count;
}